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第1题

给定实数 a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n。对每个 ii（1≤i≤n1 \le i \le n），定义 di=max⁡{aj:1≤j≤i}−min⁡{aj:i≤j≤n}d_i = \max\{a_j : 1 \le j \le i\} - \min\{a_j : i \le j \le n\}，并令 d=max⁡{di:1≤i≤n}d = \max\{d_i : 1 \le i \le n\}。(a) 证明：对任意实数 x1≤x2≤⋯≤xnx_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n，有 max⁡{∣xi−ai∣:1≤i≤n}≥d2\max\{|x_i - a_i| : 1 \le i \le n\} \ge \dfrac{d}{2}。(b) 证明存在实数 x1≤x2≤⋯≤xnx_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n，使上述不等式取等号。
第 2/5 步：估计 p 与 r 处两个误差之和
上一步下一步
通俗地说

整理两个带符号的偏差，可分离出 ap−ar=da_p - a_r = d 与 xr−xpx_r - x_p；后者因数列非递减且 p≤rp \le r 而非负。

(ap−xp)+(xr−ar)=(ap−ar)+(xr−xp)≥d(a_p - x_p) + (x_r - a_r) = (a_p - a_r) + (x_r - x_p) \ge d
详细分析

对任意实数 x1≤x2≤⋯≤xnx_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n，因 p≤rp \le r 有 xr−xp≥0x_r - x_p \ge 0，故 (ap−xp)+(xr−ar)=(ap−ar)+(xr−xp)≥ap−ar=d(a_p - x_p) + (x_r - a_r) = (a_p - a_r) + (x_r - x_p) \ge a_p - a_r = d。