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第1题

给定实数 a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n。对每个 ii（1≤i≤n1 \le i \le n），定义 di=max⁡{aj:1≤j≤i}−min⁡{aj:i≤j≤n}d_i = \max\{a_j : 1 \le j \le i\} - \min\{a_j : i \le j \le n\}，并令 d=max⁡{di:1≤i≤n}d = \max\{d_i : 1 \le i \le n\}。(a) 证明：对任意实数 x1≤x2≤⋯≤xnx_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n，有 max⁡{∣xi−ai∣:1≤i≤n}≥d2\max\{|x_i - a_i| : 1 \le i \le n\} \ge \dfrac{d}{2}。(b) 证明存在实数 x1≤x2≤⋯≤xnx_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n，使上述不等式取等号。
第 3/5 步：推出 (a) 的下界
上一步下一步
通俗地说

若两个数之和至少为 dd，则其中较大的数至少为 d2\dfrac{d}{2}。

max⁡{∣xi−ai∣:1≤i≤n}≥max⁡{ap−xp, xr−ar}≥d2\max\{|x_i - a_i| : 1 \le i \le n\} \ge \max\{a_p - x_p,\, x_r - a_r\} \ge \frac{d}{2}
详细分析

由 (ap−xp)+(xr−ar)≥d(a_p - x_p) + (x_r - a_r) \ge d，ap−xpa_p - x_p 与 xr−arx_r - a_r 中至少一个不小于 d2\dfrac{d}{2}。因此 max⁡{∣xi−ai∣:1≤i≤n}≥max⁡{∣xp−ap∣,∣xr−ar∣}≥max⁡{ap−xp,xr−ar}≥d2\max\{|x_i - a_i| : 1 \le i \le n\} \ge \max\{|x_p - a_p|, |x_r - a_r|\} \ge \max\{a_p - x_p, x_r - a_r\} \ge \dfrac{d}{2}，证明了 (a)。