MathLabs

第1题

给定实数 a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n。对每个 ii（1≤i≤n1 \le i \le n），定义 di=max⁡{aj:1≤j≤i}−min⁡{aj:i≤j≤n}d_i = \max\{a_j : 1 \le j \le i\} - \min\{a_j : i \le j \le n\}，并令 d=max⁡{di:1≤i≤n}d = \max\{d_i : 1 \le i \le n\}。(a) 证明：对任意实数 x1≤x2≤⋯≤xnx_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n，有 max⁡{∣xi−ai∣:1≤i≤n}≥d2\max\{|x_i - a_i| : 1 \le i \le n\} \ge \dfrac{d}{2}。(b) 证明存在实数 x1≤x2≤⋯≤xnx_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n，使上述不等式取等号。
第 5/5 步：验证构造的数列达到等号
上一步下一步
通俗地说

每一项与 aia_i 的距离都不超过 d2\dfrac{d}{2}，而 (a) 又迫使最大值至少为 d2\dfrac{d}{2}，因此达到等号。

−d2≤(Mi−ai)−d2≤d2  ⟹  max⁡1≤i≤n∣xi−ai∣=d2-\frac{d}{2} \le (M_i - a_i) - \frac{d}{2} \le \frac{d}{2} \implies \max_{1 \le i \le n} |x_i - a_i| = \frac{d}{2}
详细分析

从 0≤Mi−ai≤d0 \le M_i - a_i \le d 中减去 d2\dfrac{d}{2}，得 −d2≤xi−ai≤d2-\dfrac{d}{2} \le x_i - a_i \le \dfrac{d}{2}，即对所有 ii 有 ∣xi−ai∣≤d2|x_i - a_i| \le \dfrac{d}{2}。结合 (a) 的下界 max⁡i∣xi−ai∣≥d2\max_i |x_i - a_i| \ge \dfrac{d}{2}，得到 max⁡{∣xi−ai∣:1≤i≤n}=d2\max\{|x_i - a_i| : 1 \le i \le n\} = \dfrac{d}{2}，从而证明 (b)。