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第2题

设五个点 A,B,C,D,EA, B, C, D, E 满足 ABCDABCD 是平行四边形且 BCEDBCED 是圆内接四边形。设直线 ℓ\ell 经过 AA。假设 ℓ\ell 与线段 DCDC 的内部交于 FF，并与直线 BCBC 交于 GG。另有 EF=EG=ECEF = EG = EC。证明 ℓ\ell 是角 DABDAB 的平分线。
第 2/4 步：比较 CF < CG 时从 E 作出的高
上一步下一步
通俗地说

两等腰三角形的腰 EF=ECEF = EC 相等时，底边较短者的高较长。

CF<CG  ⟹  KF=CF2<CG2=LC  ⟹  KE=EF2−KF2>EC2−LC2=LECF < CG \implies KF = \frac{CF}{2} < \frac{CG}{2} = LC \implies KE = \sqrt{EF^2 - KF^2} > \sqrt{EC^2 - LC^2} = LE
详细分析

假设 CF<CGCF < CG。设 EK⊥DCEK \perp DC 和 EL⊥BCEL \perp BC 是从 EE 向等腰三角形 ECFECF（EF=ECEF = EC）和 EGCEGC（EG=ECEG = EC）作出的高，因此 KK 和 LL 分别是 CFCF 和 CGCG 的中点。于是 KF=CF2<CG2=LCKF = \dfrac{CF}{2} < \dfrac{CG}{2} = LC；由于 EF=ECEF = EC，由直角三角形 EKFEKF 和 ELCELC 的勾股定理，得 KE=EF2−KF2>EC2−LC2=LEKE = \sqrt{EF^2 - KF^2} > \sqrt{EC^2 - LC^2} = LE。