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第2题

设五个点 A,B,C,D,EA, B, C, D, E 满足 ABCDABCD 是平行四边形且 BCEDBCED 是圆内接四边形。设直线 ℓ\ell 经过 AA。假设 ℓ\ell 与线段 DCDC 的内部交于 FF，并与直线 BCBC 交于 GG。另有 EF=EG=ECEF = EG = EC。证明 ℓ\ell 是角 DABDAB 的平分线。
第 4/4 步：推出 DF > AD 并与 ADF、GCF 的相似性矛盾
上一步下一步
通俗地说

从较大的边 DK>BLDK > BL 中减去较小的半底 KF<LCKF < LC，得到 DF>BC=ADDF > BC = AD，这直接与 ADDF=CGCF>1\dfrac{AD}{DF} = \dfrac{CG}{CF} > 1 矛盾。

DF=DK−KF>BL−LC=BC=AD,△ADF∼△GCF  ⟹  ADDF=CGCF>1DF = DK - KF > BL - LC = BC = AD, \qquad \triangle ADF \sim \triangle GCF \implies \frac{AD}{DF} = \frac{CG}{CF} > 1
详细分析

由 DK>BLDK > BL（第3步）和 KF<LCKF < LC（第2步），得 DF=DK−KF>BL−LC=BC=ADDF = DK - KF > BL - LC = BC = AD，所以 ADDF<1\dfrac{AD}{DF} < 1。另一方面，因 AD∥GCAD \parallel GC，有 △ADF∼△GCF\triangle ADF \sim \triangle GCF，由假设 CF<CGCF < CG 得 ADDF=CGCF>1\dfrac{AD}{DF} = \dfrac{CG}{CF} > 1，矛盾。若 CF>CGCF > CG，则得到完全相反的不等式 KF>LCKF > LC、KE<LEKE < LE、DK<BLDK < BL、DF<ADDF < AD 以及 1<ADDF=CGCF<11 < \dfrac{AD}{DF} = \dfrac{CG}{CF} < 1，同样矛盾。因此 CF=CGCF = CG，由第1步知 ℓ\ell 平分 ∠DAB\angle DAB。