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第4题

在三角形 ABCABC 中，角 BCABCA 的平分线再次与外接圆交于 RR，与 BCBC 的垂直平分线交于 PP，与 ACAC 的垂直平分线交于 QQ。BCBC 的中点为 KK，ACAC 的中点为 LL。证明三角形 RPKRPK 与三角形 RQLRQL 面积相等。
第 2/4 步：证明三角形OPQ在外心O处为等腰三角形
上一步下一步
通俗地说

因为 OO 同时位于两条垂直平分线 PKPK 和 QLQL 上，沿 CRCR 方向 △OPQ\triangle OPQ 的底角与第1步中相等的锐角相符。

∠OPQ=∠CPK=∠CQL=∠OQP  ⟹  OP=OQ\angle OPQ = \angle CPK = \angle CQL = \angle OQP \implies OP = OQ
详细分析

设 OO 为 △ABC\triangle ABC 的外心，它同时位于两条垂直平分线 KPKP 与 LQLQ 上。由第1步的 ∠CPK=∠CQL\angle CPK = \angle CQL，△OPQ\triangle OPQ 中在 PP 和 QQ 处的对顶角/共线角满足 ∠OPQ=∠OQP\angle OPQ = \angle OQP，故 △OPQ\triangle OPQ 是等腰三角形，OP=OQOP = OQ。