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第4题

在三角形 ABCABC 中，角 BCABCA 的平分线再次与外接圆交于 RR，与 BCBC 的垂直平分线交于 PP，与 ACAC 的垂直平分线交于 QQ。BCBC 的中点为 KK，ACAC 的中点为 LL。证明三角形 RPKRPK 与三角形 RQLRQL 面积相等。
第 3/4 步：推出P和Q在弦CR上对称
上一步下一步
通俗地说

从外心 OO 向弦 CRCR 所作的垂线同时平分弦 CRCR 与等腰三角形 OPQOPQ 的底边 PQPQ。

OE⊥CR  ⟹  CE=ER and PE=EQ  ⟹  RP=CQ, RQ=CPOE \perp CR \implies CE = ER \text{ and } PE = EQ \implies RP = CQ,\ RQ = CP
详细分析

从外心 OO 作垂线 OE⊥CROE \perp CR。因为 CRCR 是外接圆的弦，EE 是 CRCR 的中点（CE=ERCE = ER）；因为 OP=OQOP = OQ，EE 也是 PQPQ 的中点（PE=EQPE = EQ）。沿直线 CRCR 相减与相加得到 RP=CQRP = CQ 与 RQ=CPRQ = CP。