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第4题

在三角形 ABCABC 中，角 BCABCA 的平分线再次与外接圆交于 RR，与 BCBC 的垂直平分线交于 PP，与 ACAC 的垂直平分线交于 QQ。BCBC 的中点为 KK，ACAC 的中点为 LL。证明三角形 RPKRPK 与三角形 RQLRQL 面积相等。
第 4/4 步：计算面积比并得出相等的结论
上一步下一步
通俗地说

相等的夹角抵消了正弦因子，而两个比值 RPRQ=CQCP\dfrac{RP}{RQ} = \dfrac{CQ}{CP} 与 PKQL=CPCQ\dfrac{PK}{QL} = \dfrac{CP}{CQ} 恰好互为倒数。

[△RPK][△RQL]=12RP⋅PKsin⁡∠RPK12RQ⋅QLsin⁡∠RQL=RPRQ⋅PKQL=CQCP⋅CPCQ=1\frac{[\triangle RPK]}{[\triangle RQL]} = \frac{\frac{1}{2} RP \cdot PK \sin \angle RPK}{\frac{1}{2} RQ \cdot QL \sin \angle RQL} = \frac{RP}{RQ} \cdot \frac{PK}{QL} = \frac{CQ}{CP} \cdot \frac{CP}{CQ} = 1
详细分析

利用 ∠RPK=∠RQL\angle RPK = \angle RQL（第1步）、PKQL=CPCQ\dfrac{PK}{QL} = \dfrac{CP}{CQ}（第1步）以及 RPRQ=CQCP\dfrac{RP}{RQ} = \dfrac{CQ}{CP}（第3步），面积比为 [△RPK][△RQL]=RP⋅PKRQ⋅QL=CQCP⋅CPCQ=1\dfrac{[\triangle RPK]}{[\triangle RQL]} = \dfrac{RP \cdot PK}{RQ \cdot QL} = \dfrac{CQ}{CP} \cdot \dfrac{CP}{CQ} = 1，故 [△RPK]=[△RQL][\triangle RPK] = [\triangle RQL]。