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第5题

设 aa 与 bb 为正整数。证明：若 4ab−14ab-1 整除 (4a2−1)2(4a^2-1)^2，则 a=ba=b。
第 3/3 步：通过最小化2x + y来排除坏对
上一步下一步
通俗地说

无论 x,yx, y 中哪个更大，第1步都会把 yy 收缩为 z<x<yz < x < y，或者第2步把 (x,y)(x,y) 交换为 (y,x)(y,x)，两种情况下 2x+y2x+y 都严格减小。

(x,y) bad with 2x+y minimal:x<y  ⟹  2x+z<2x+y;y<x  ⟹  2y+x<2x+y(x,y) \text{ bad with } 2x+y \text{ minimal}: \quad x < y \implies 2x+z < 2x+y; \quad y < x \implies 2y+x < 2x+y
详细分析

反设存在坏对，取坏对 (x,y)(x,y) 使正整数 2x+y2x+y 最小。若 x<yx < y，由第1步得坏对 (x,z)(x,z)，其中 z<x<yz < x < y，故 2x+z<2x+y2x+z < 2x+y，与最小性矛盾。若 y<xy < x，由第2步得坏对 (y,x)(y,x)，其中 2y+x=(2x+y)−(x−y)<2x+y2y+x = (2x+y) - (x-y) < 2x+y，同样与最小性矛盾。因此不存在坏对，从而 4ab−1∣(4a2−1)24ab-1 \mid (4a^2-1)^2 迫使 a=ba = b。