第6题

设

n

为正整数。将

S=\{(x,y,z) : x,y,z\in\{0,1,\ldots,n\},\ x+y+z>0\}

视为三维空间中由

(n+1)^3-1

个点组成的集合。求使其并集包含

S

但不包含

(0,0,0)

的最少平面个数。

第 1/5 步：把避开原点的平面覆盖转化为多项式

上一步下一步

通俗地说

任何不过 $(0,0,0)$ 的平面都可写成方程 $a_i x + b_i y + c_i z = 1$ ，因此将这些一次因子相乘，就把覆盖 $S$ 的 $m$ 个平面的并集转化为一个在 $S$ 上为零但在 $(0,0,0)$ 处非零的 $m$ 次多项式。

P(x,y,z) = \prod_{i=1}^m (a_i x + b_i y + c_i z - 1), \qquad \deg P = m, \quad P|_S = 0, \quad P(0,0,0) = (-1)^m \ne 0

详细分析

设 $m$ 个平面 $H_1,\ldots,H_m$ 覆盖 $S$ 且都不经过 $(0,0,0)$ 。每个 $H_i$ 都可写成 $a_i x + b_i y + c_i z = 1$ 。于是 $P(x,y,z) = \prod_{i=1}^m (a_i x + b_i y + c_i z - 1)$ 次数为 $m$ ，在 $S$ 的每个点处为零（因为 $S$ 的每个点都落在某个 $H_i$ 上），且满足 $P(0,0,0) = (-1)^m \ne 0$ 。