第6题

设

n

为正整数。将

S=\{(x,y,z) : x,y,z\in\{0,1,\ldots,n\},\ x+y+z>0\}

视为三维空间中由

(n+1)^3-1

个点组成的集合。求使其并集包含

S

但不包含

(0,0,0)

的最少平面个数。

第 2/5 步：陈述并建立矩形网格上的归纳引理

上一步下一步

通俗地说

从 $\{0,\ldots,n\}^3$ 推广到任意长方体 $\{0,\ldots,n_1\}\times\{0,\ldots,n_2\}\times\{0,\ldots,n_3\}$ ，可以通过每次剥去一个顶面对和 $n_1+n_2+n_3$ 进行归纳。

S_1 \times S_2 \times S_3 = \{0,\ldots,n_1\}\times\{0,\ldots,n_2\}\times\{0,\ldots,n_3\} \implies \deg P \ge n_1 + n_2 + n_3

详细分析

引理：若 $P \in \mathbb{R}[x,y,z]$ 在 $(S_1\times S_2\times S_3)\setminus\{(0,0,0)\}$ 上为零（其中 $S_k=\{0,1,\ldots,n_k\}$ ），且 $P(0,0,0)\ne 0$ ，则 $\deg P \ge n_1+n_2+n_3$ 。我们对 $n_1+n_2+n_3$ 用归纳法证明；基础情形 $n_1=n_2=n_3=0$ 显然成立，因为 $\deg P \ge 0$ 。