第6题

设

n

为正整数。将

S=\{(x,y,z) : x,y,z\in\{0,1,\ldots,n\},\ x+y+z>0\}

视为三维空间中由

(n+1)^3-1

个点组成的集合。求使其并集包含

S

但不包含

(0,0,0)

的最少平面个数。

第 3/5 步：通过多项式除法剥去切片x = n_1

上一步下一步

通俗地说

用 $x - n_1$ 去除 $P$ ，余下的余项 $R(y,z)$ 在整个顶层 $x = n_1$ 上为零，因此在满足 $x < n_1$ 的所有剩余网格点上都有 $P = (x - n_1)Q$ 。

P(x,y,z) = (x - n_1) Q(x,y,z) + R(y,z), \qquad R(y,z) = 0 \text{ on } S_2 \times S_3

详细分析

当 $n_1+n_2+n_3 > 0$ 时，不妨设 $n_1 > 0$ 。在 $\mathbb{R}[y,z][x]$ 中用 $(x - n_1)$ 去除 $P$ 得到 $P(x,y,z) = (x - n_1)Q(x,y,z) + R(y,z)$ 。对每个 $(y,z) \in S_2 \times S_3$ ，点 $(n_1,y,z)$ 满足 $n_1+y+z \ge n_1 > 0$ ，故 $P(n_1,y,z) = 0$ ，从而 $R(y,z) = 0$ 在整个 $S_2 \times S_3$ 上成立。因此对更小网格 $\{0,\ldots,n_1-1\}\times S_2 \times S_3$ 中的每一点 $(x,y,z)$ ，都有 $P(x,y,z) = (x - n_1)Q(x,y,z)$ ，且 $x - n_1 \ne 0$ 。