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第6题

设 nn 为正整数。将 S={(x,y,z):x,y,z∈{0,1,…,n}, x+y+z>0}S=\{(x,y,z) : x,y,z\in\{0,1,\ldots,n\},\ x+y+z>0\} 视为三维空间中由 (n+1)3−1(n+1)^3-1 个点组成的集合。求使其并集包含 SS 但不包含 (0,0,0)(0,0,0) 的最少平面个数。
第 4/5 步：对Q应用归纳假设并得出m >= 3n
上一步下一步
通俗地说

由于在较小网格上 x−n1≠0x - n_1 \ne 0，QQ 继承了 PP 在较小长方体上完全相同的消没模式，因此归纳假设给出该次数下界。

deg⁡Q≥(n1−1)+n2+n3  ⟹  deg⁡P≥deg⁡Q+1≥n1+n2+n3  ⟹  m≥3n\deg Q \ge (n_1 - 1) + n_2 + n_3 \implies \deg P \ge \deg Q + 1 \ge n_1 + n_2 + n_3 \implies m \ge 3n
详细分析

由第3步，QQ 在 ({0,…,n1−1}×S2×S3)∖{(0,0,0)}\big(\{0,\ldots,n_1-1\}\times S_2\times S_3\big)\setminus\{(0,0,0)\} 上为零，且 Q(0,0,0)=P(0,0,0)−n1≠0Q(0,0,0) = \dfrac{P(0,0,0)}{-n_1} \ne 0。由归纳假设，deg⁡Q≥(n1−1)+n2+n3\deg Q \ge (n_1-1)+n_2+n_3，又因 deg⁡P≥deg⁡((x−n1)Q)=deg⁡Q+1\deg P \ge \deg((x-n_1)Q) = \deg Q + 1，得 deg⁡P≥n1+n2+n3\deg P \ge n_1+n_2+n_3，归纳完成。令 n1=n2=n3=nn_1=n_2=n_3=n 即得 m=deg⁡P≥3nm = \deg P \ge 3n。