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第6题

设 nn 为正整数。将 S={(x,y,z):x,y,z∈{0,1,…,n}, x+y+z>0}S=\{(x,y,z) : x,y,z\in\{0,1,\ldots,n\},\ x+y+z>0\} 视为三维空间中由 (n+1)3−1(n+1)^3-1 个点组成的集合。求使其并集包含 SS 但不包含 (0,0,0)(0,0,0) 的最少平面个数。
第 5/5 步：给出覆盖S且不经过原点的3n个平面
上一步下一步
通俗地说

SS 中任意网格点至少有一个坐标属于 {1,…,n}\{1,\ldots,n\}，因此对应正坐标的 3n3n 个轴平行平面在不经过 (0,0,0)(0,0,0) 的情况下覆盖了 SS。

x=i,y=i,z=i(i=1,2,…,n)x = i,\quad y = i,\quad z = i \qquad (i = 1, 2, \ldots, n)
详细分析

对 i=1,…,ni=1,\ldots,n，3n3n 个平面 x=ix=i、y=iy=i、z=iz=i 都不经过 (0,0,0)(0,0,0)，且任意 (x,y,z)∈S(x,y,z) \in S 满足 x+y+z>0x+y+z > 0，故 x,y,zx, y, z 中至少有一个属于 {1,…,n}\{1,\ldots,n\}，从而 (x,y,z)(x,y,z) 落在这 3n3n 个平面之一上。结合第4步的 m≥3nm \ge 3n，可知最小的平面数为 3n3n。