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第1题

锐角三角形 ABCABC 的垂心为 HH。以 BCBC 中点为圆心且过 HH 的圆与直线 BCBC 交于 A1A_1 和 A2A_2。类似地，以 CACA 中点为圆心且过 HH 的圆与直线 CACA 交于 B1B_1 和 B2B_2，以 ABAB 中点为圆心且过 HH 的圆与直线 ABAB 交于 C1C_1 和 C2C_2。证明 A1,A2,B1,B2,C1,C2A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2 六点共圆。
第 1/3 步：通过中点 A_0 和外心 O 表示 OA_1^2 和 OA_2^2
上一步下一步
通俗地说

因为 OO 在 BCBC 于 A0A_0 处的垂直平分线上，且以 A0A_0 为圆心的圆经过 H,A1,A2H, A_1, A_2，由勾股定理，OA12OA_1^2 和 OA22OA_2^2 可用 OA0OA_0 和 A0HA_0H 表示。

OA0⊥BC,A0A1=A0A2=A0H  ⟹  OA12=OA22=OA02+A0H2OA_0 \perp BC, \quad A_0A_1 = A_0A_2 = A_0H \implies OA_1^2 = OA_2^2 = OA_0^2 + A_0H^2
详细分析

设 OO 为 △ABC\triangle ABC 的外心，A0,B0,C0A_0, B_0, C_0 分别为 BC,CA,ABBC, CA, AB 的中点。因为 OA0⊥BCOA_0 \perp BC 且 A1,A2∈BCA_1, A_2 \in BC 在以 A0A_0 为圆心、半径为 A0HA_0H 的圆上，直角三角形 OA0A1OA_0A_1 与 OA0A2OA_0A_2 给出 OA12=OA22=OA02+A0A12=OA02+A0H2OA_1^2 = OA_2^2 = OA_0^2 + A_0A_1^2 = OA_0^2 + A_0H^2。