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国际数学奥林匹克 · 2008年

试题

  1. 第1题锐角三角形 ABCABC 的垂心为 HH。以 BCBC 中点为圆心且过 HH 的圆与直线 BCBC 交于 A1A_1 和 A2A_2。类似地，以 CACA 中点为圆心且过 HH 的圆与直线 CACA 交于 B1B_1 和 B2B_2，以 ABAB 中点为圆心且过 HH 的圆与直线 ABAB 交于 C1C_1 和 C2C_2。证明 A1,A2,B1,B2,C1,C2A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2 六点共圆。解法: 1
  2. 第2题设 xx、yy、zz 为实数，均不等于 11，且 xyz=1xyz=1。证明 x2(x−1)2+y2(y−1)2+z2(z−1)2≥1,\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\ge 1, 并证明等号对无穷多组有理数 xx、yy、zz 成立。解法: 1
  3. 第3题证明存在无穷多个正整数 nn，使得 n2+1n^2+1 有一个大于 2n+2n2n+\sqrt{2n} 的素因数。解法: 1
  4. 第4题求所有函数 f:(0,∞)→(0,∞)f: (0,\infty) \to (0,\infty)（即 ff 是从正实数到正实数的函数），使得对满足 wx=yzwx = yz 的任意正实数 w,x,y,zw, x, y, z，都有 (f(w))2+(f(x))2f(y2)+f(z2)=w2+x2y2+z2\dfrac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y^2) + f(z^2)} = \dfrac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2}。解法: 1
  5. 第5题设 nn 和 kk 是正整数，满足 k≥nk \ge n 且 k−nk - n 为偶数。给定 2n2n 盏编号为 1,2,…,2n1, 2, \ldots, 2n 的灯，每盏灯都可以亮或灭。初始时所有灯都熄灭。考虑如下操作序列：每一步切换一盏灯（由亮变灭或由灭变亮）。令 NN 为由 kk 步组成、最终使编号 11 至 nn 的灯全亮且编号 n+1n+1 至 2n2n 的灯全灭的序列数。令 MM 为由 kk 步组成、最终使编号 11 至 nn 的灯全亮且编号 n+1n+1 至 2n2n 的灯全灭、但在整个过程中编号 n+1n+1 至 2n2n 的灯从未被打开的序列数。求 NM\dfrac{N}{M}。解法: 1
  6. 第6题设 ABCDABCD 是一个凸四边形，且 BA≠BCBA \ne BC。分别以 ω1\omega_1 和 ω2\omega_2 表示三角形 ABCABC 与 ADCADC 的内切圆。设存在一个圆 ω\omega，它与越过 AA 的射线 BABA 和越过 CC 的射线 BCBC 相切，并且也与直线 ADAD 和 CDCD 相切。证明 ω1\omega_1 与 ω2\omega_2 的两条公共外切线交于 ω\omega 上。解法: 1