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第1题

锐角三角形 ABCABC 的垂心为 HH。以 BCBC 中点为圆心且过 HH 的圆与直线 BCBC 交于 A1A_1 和 A2A_2。类似地，以 CACA 中点为圆心且过 HH 的圆与直线 CACA 交于 B1B_1 和 B2B_2，以 ABAB 中点为圆心且过 HH 的圆与直线 ABAB 交于 C1C_1 和 C2C_2。证明 A1,A2,B1,B2,C1,C2A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2 六点共圆。
第 2/3 步：从外心 O 设置位置向量
上一步下一步
通俗地说

取外心 OO 为原点，使三个顶点向量的长度都等于 RR，并给出垂心的经典公式 OH→=a+b+c\overrightarrow{OH} = \mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}。

OA→=a, OB→=b, OC→=c,∣a∣2=∣b∣2=∣c∣2=R2,OH→=a+b+c\overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\ \overrightarrow{OB}=\mathbf{b},\ \overrightarrow{OC}=\mathbf{c}, \quad |\mathbf{a}|^2=|\mathbf{b}|^2=|\mathbf{c}|^2=R^2, \quad \overrightarrow{OH}=\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}
详细分析

设 RR 为 △ABC\triangle ABC 的外接圆半径，令 OA→=a\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}、OB→=b\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}、OC→=c\overrightarrow{OC}=\mathbf{c}，则 ∣a∣2=∣b∣2=∣c∣2=R2|\mathbf{a}|^2=|\mathbf{b}|^2=|\mathbf{c}|^2=R^2，且垂心满足 OH→=a+b+c\overrightarrow{OH}=\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}。于是 OA0→=b+c2\overrightarrow{OA_0} = \dfrac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2}，A0H→=OH→−OA0→=a+b+c2=2a+b+c2\overrightarrow{A_0H} = \overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OA_0} = \mathbf{a} + \dfrac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2} = \dfrac{2\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2}。