MathLabs

第1题

锐角三角形 ABCABC 的垂心为 HH。以 BCBC 中点为圆心且过 HH 的圆与直线 BCBC 交于 A1A_1 和 A2A_2。类似地，以 CACA 中点为圆心且过 HH 的圆与直线 CACA 交于 B1B_1 和 B2B_2，以 ABAB 中点为圆心且过 HH 的圆与直线 ABAB 交于 C1C_1 和 C2C_2。证明 A1,A2,B1,B2,C1,C2A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2 六点共圆。
第 3/3 步：展开 OA_0^2 + A_0H^2 并观察其完全对称性
上一步下一步
通俗地说

展开两个范数的平方后得到一个关于 a,b,c\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} 对称的表达式，因此循环置换不改变到 OO 的距离。

OA12=∣b+c2∣2+∣2a+b+c2∣2=2R2+a⋅b+b⋅c+c⋅aOA_1^2 = \left|\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2}\right|^2 + \left|\frac{2\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2}\right|^2 = 2R^2 + \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + \mathbf{b}\cdot\mathbf{c} + \mathbf{c}\cdot\mathbf{a}
详细分析

展开点积得到 OA12=OA22=∣b∣2+2b⋅c+∣c∣24+4∣a∣2+∣b∣2+∣c∣2+4a⋅b+4a⋅c+2b⋅c4=2R2+a⋅b+b⋅c+c⋅aOA_1^2 = OA_2^2 = \dfrac{|\mathbf{b}|^2 + 2\mathbf{b}\cdot\mathbf{c} + |\mathbf{c}|^2}{4} + \dfrac{4|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + |\mathbf{c}|^2 + 4\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + 4\mathbf{a}\cdot\mathbf{c} + 2\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}}{4} = 2R^2 + \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + \mathbf{b}\cdot\mathbf{c} + \mathbf{c}\cdot\mathbf{a}。因为右边关于 a,b,c\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} 的置换对称，同一个值也等于 OB12=OB22=OC12=OC22OB_1^2 = OB_2^2 = OC_1^2 = OC_2^2，所以六个点 A1,A2,B1,B2,C1,C2A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2 都在以 OO 为圆心的同一个圆上。