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第2题

设 xx、yy、zz 为实数，均不等于 11，且 xyz=1xyz=1。证明 x2(x−1)2+y2(y−1)2+z2(z−1)2≥1,\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\ge 1, 并证明等号对无穷多组有理数 xx、yy、zz 成立。
第 2/5 步：把 xyz = 1 转化为 a+b+c 与 ab+bc+ca 之间的线性关系
上一步下一步
xyz=1  ⟺  abc=(a−1)(b−1)(c−1)  ⟺  ab+bc+ca=a+b+c−1xyz=1 \iff abc=(a-1)(b-1)(c-1) \iff ab+bc+ca=a+b+c-1
详细分析

将 x=aa−1x=\frac{a}{a-1}、y=bb−1y=\frac{b}{b-1}、z=cc−1z=\frac{c}{c-1} 代入 xyz=1xyz=1，得 abc=(a−1)(b−1)(c−1)abc=(a-1)(b-1)(c-1)。展开右边，(a−1)(b−1)(c−1)=abc−(ab+bc+ca)+(a+b+c)−1(a-1)(b-1)(c-1)=abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1，于是 abcabc 项相消，得到 ab+bc+ca=a+b+c−1ab+bc+ca=a+b+c-1。