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第2题

设 xx、yy、zz 为实数，均不等于 11，且 xyz=1xyz=1。证明 x2(x−1)2+y2(y−1)2+z2(z−1)2≥1,\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\ge 1, 并证明等号对无穷多组有理数 xx、yy、zz 成立。
第 3/5 步：配方以证明第 (i) 部分
上一步下一步
a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+bc+ca)=(a+b+c−1)2+1≥1a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=(a+b+c-1)^2+1 \ge 1
详细分析

设 s=a+b+cs=a+b+c。由第2步，ab+bc+ca=s−1ab+bc+ca=s-1，于是 a2+b2+c2=s2−2(ab+bc+ca)=s2−2(s−1)=(s−1)2+1≥1,a^2+b^2+c^2=s^2-2(ab+bc+ca)=s^2-2(s-1)=(s-1)^2+1\ge 1, 而 a2+b2+c2a^2+b^2+c^2 正是第1步中的目标和，故这就是所需的不等式。等号成立当且仅当 s=1s=1，即 a+b+c=1a+b+c=1，此时也有 ab+bc+ca=s−1=0ab+bc+ca=s-1=0。