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第2题

设 xx、yy、zz 为实数，均不等于 11，且 xyz=1xyz=1。证明 x2(x−1)2+y2(y−1)2+z2(z−1)2≥1,\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\ge 1, 并证明等号对无穷多组有理数 xx、yy、zz 成立。
第 4/5 步：用有理数参数 t 给出等号方程组 a+b+c=1, ab+bc+ca=0 的解
上一步下一步
通俗地说

需要一条有理数参数化的解曲线才能得到无穷多组有理数三元组，于是引入有理斜率 t = b/a 来寻找它。

a=1+tt2+t+1, b=t(1+t)t2+t+1, c=−tt2+t+1a=\frac{1+t}{t^2+t+1},\ b=\frac{t(1+t)}{t^2+t+1},\ c=\frac{-t}{t^2+t+1}
详细分析

在有理数 tt 下设 b=tab=ta，寻找 a+b+c=1a+b+c=1、ab+bc+ca=0ab+bc+ca=0 的解。将 c=1−a−b=1−a(1+t)c=1-a-b=1-a(1+t) 代入 ab+bc+ca=0ab+bc+ca=0 并除以 a≠0a\ne0，得 a[(1+t)2−t]=1+ta\left[(1+t)^2-t\right]=1+t，即 a=1+tt2+t+1a=\frac{1+t}{t^2+t+1}（注意恒有 t2+t+1>0t^2+t+1>0）。于是 b=ta=t(1+t)t2+t+1b=ta=\frac{t(1+t)}{t^2+t+1}，而 c=1−a−b=(t2+t+1)−(1+t)−t(1+t)t2+t+1=−tt2+t+1c=1-a-b=\frac{(t^2+t+1)-(1+t)-t(1+t)}{t^2+t+1}=\frac{-t}{t^2+t+1}。