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第2题

设 xx、yy、zz 为实数，均不等于 11，且 xyz=1xyz=1。证明 x2(x−1)2+y2(y−1)2+z2(z−1)2≥1,\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\ge 1, 并证明等号对无穷多组有理数 xx、yy、zz 成立。
第 5/5 步：换回 x, y, z：一个使等号成立的显式无穷有理数族
上一步下一步
(x,y,z)=(−1+tt2, −t(1+t), t(t+1)2),t∈Q∖{0,−1}(x,y,z)=\left(-\frac{1+t}{t^2},\ -t(1+t),\ \frac{t}{(t+1)^2}\right),\quad t\in\mathbb{Q}\setminus\{0,-1\}
详细分析

由 x=aa−1x=\frac{a}{a-1} 及 a−1=−t2t2+t+1a-1=\frac{-t^2}{t^2+t+1} 得 x=−1+tt2x=-\frac{1+t}{t^2}；由 y=bb−1y=\frac{b}{b-1} 及 b−1=−1t2+t+1b-1=\frac{-1}{t^2+t+1} 得 y=−t(1+t)y=-t(1+t)；由 z=cc−1z=\frac{c}{c-1} 及 c−1=−(t+1)2t2+t+1c-1=\frac{-(t+1)^2}{t^2+t+1} 得 z=t(t+1)2z=\frac{t}{(t+1)^2}。直接验证可知对任意有理数 t≠0,−1t\ne0,-1 都有 xyz=1xyz=1，且因 t2+t+1=0t^2+t+1=0 无实根，x,y,zx,y,z 都不会等于 11。当 tt 取遍除 0,−10,-1 外的无穷多个有理数时，y=−t(1+t)y=-t(1+t) 取无穷多个不同的值，于是得到无穷多组使等号成立的有理数三元组 (x,y,z)(x,y,z)，第 (ii) 部分得证。■\blacksquare