第4题

求所有函数

f: (0,\infty) \to (0,\infty)

（即

f

是从正实数到正实数的函数），使得对满足

wx = yz

的任意正实数

w, x, y, z

，都有

\dfrac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y^2) + f(z^2)} = \dfrac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2}

。

第 1/3 步：求出 f(1) = 1 并导出 f(x) 的逐点二次方程

上一步下一步

通俗地说

代入 $(1,1,1,1)$ 可确定 $f(1)=1$ ；代入 $(x,1,\sqrt{x},\sqrt{x})$ 得到关于 $f(x)$ 的二次方程，其根为 $x$ 和 $\dfrac{1}{x}$ 。

f(1)=1, \qquad (w,x,y,z)=(x,1,\sqrt{x},\sqrt{x}) \implies \frac{f(x)^2+1}{2f(x)} = \frac{x^2+1}{2x} \implies (xf(x)-1)(f(x)-x)=0

详细分析

令 $w=x=y=z=1$ ，有 $\dfrac{2f(1)^2}{2f(1)} = 1$ ，故 $f(1) = 1$ 。接着对任意 $x > 0$ 令 $(w,x,y,z) = (x, 1, \sqrt{x}, \sqrt{x})$ （满足 $x \cdot 1 = \sqrt{x}\cdot\sqrt{x}$ ），得到 $\dfrac{f(x)^2 + 1}{2f(x)} = \dfrac{x^2 + 1}{2x}$ ，即 $xf(x)^2 - (x^2+1)f(x) + x = (xf(x)-1)(f(x)-x) = 0$ 。因此对每个 $x > 0$ ，都有 $f(x) = x$ 或 $f(x) = \dfrac{1}{x}$ 。