第4题

求所有函数

f: (0,\infty) \to (0,\infty)

（即

f

是从正实数到正实数的函数），使得对满足

wx = yz

的任意正实数

w, x, y, z

，都有

\dfrac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y^2) + f(z^2)} = \dfrac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2}

。

第 2/3 步：排除不同点处混合两种分支的情况

上一步下一步

通俗地说

取满足 $f(a)=\dfrac{1}{a}$ 且 $f(b)=b$ 的一对 $(a,b)$ ，令 $y=z=\sqrt{ab}$ ，则 $f(ab)$ 既等于 $\dfrac{ab(a^{-2}+b^2)}{a^2+b^2}$ ，又必须是 $ab, \dfrac{1}{ab}$ 之一，从而迫使 $a=1$ 或 $b=1$ 。

f(a)=\frac{1}{a},\ f(b)=b \implies f(ab) = \frac{ab(a^{-2}+b^2)}{a^2+b^2} \in \left\{ab,\ \frac{1}{ab}\right\} \implies a=1 \text{ or } b=1

详细分析

假设存在 $a, b > 0$ 使 $f(a) \ne a$ 且 $f(b) \ne \dfrac{1}{b}$ ；由第 1 步， $f(a) = \dfrac{1}{a}$ （其中 $a \ne 1$ ）且 $f(b) = b$ （其中 $b \ne 1$ ）。令 $(w,x,y,z) = (a, b, \sqrt{ab}, \sqrt{ab})$ ，得到 $\dfrac{a^{-2}+b^2}{2f(ab)} = \dfrac{a^2+b^2}{2ab}$ ，即 $f(ab) = \dfrac{ab(a^{-2}+b^2)}{a^2+b^2}$ 。由第 1 步， $f(ab) \in \left\{ab, \dfrac{1}{ab}\right\}$ ：若 $f(ab) = ab$ ，则 $a^{-2}+b^2 = a^2+b^2$ ，迫使 $a = 1$ ，矛盾；若 $f(ab) = \dfrac{1}{ab}$ ，则 $a^2b^2(a^{-2}+b^2) = a^2+b^2$ ，即 $b^2 + a^2b^4 = a^2+b^2$ ，迫使 $b = 1$ ，也矛盾。