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第4题

求所有函数 f:(0,∞)→(0,∞)f: (0,\infty) \to (0,\infty)（即 ff 是从正实数到正实数的函数），使得对满足 wx=yzwx = yz 的任意正实数 w,x,y,zw, x, y, z，都有 (f(w))2+(f(x))2f(y2)+f(z2)=w2+x2y2+z2\dfrac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y^2) + f(z^2)} = \dfrac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2}。
第 3/3 步：验证两个整体候选函数都满足函数方程
上一步下一步
通俗地说

f(x)=xf(x)=x 和 f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x} 都恒等地满足方程，因为在倒数情形中 (wx)2=(yz)2(wx)^2 = (yz)^2 会约去分母。

f(x)=xorf(x)=1x:w−2+x−2y−2+z−2=(w2+x2)/(wx)2(y2+z2)/(yz)2=w2+x2y2+z2f(x)=x \quad \text{or} \quad f(x)=\frac{1}{x}: \quad \frac{w^{-2}+x^{-2}}{y^{-2}+z^{-2}} = \frac{(w^2+x^2)/(wx)^2}{(y^2+z^2)/(yz)^2} = \frac{w^2+x^2}{y^2+z^2}
详细分析

由第 2 步，要么对所有 x>0x > 0 有 f(x)=xf(x) = x，要么对所有 x>0x > 0 有 f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}。验证两者：f(x)=xf(x) = x 时原方程两边恒等相等；f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x} 时，只要 wx=yzwx = yz，就有 w−2+x−2y−2+z−2=w2+x2y2+z2⋅(yz)2(wx)2=w2+x2y2+z2\dfrac{w^{-2}+x^{-2}}{y^{-2}+z^{-2}} = \dfrac{w^2+x^2}{y^2+z^2} \cdot \dfrac{(yz)^2}{(wx)^2} = \dfrac{w^2+x^2}{y^2+z^2}。因此解为对所有 x>0x > 0 的 f(x)=xf(x) = x 和对所有 x>0x > 0 的 f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}。