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第6题

设 ABCDABCD 是一个凸四边形，且 BA≠BCBA \ne BC。分别以 ω1\omega_1 和 ω2\omega_2 表示三角形 ABCABC 与 ADCADC 的内切圆。设存在一个圆 ω\omega，它与越过 AA 的射线 BABA 和越过 CC 的射线 BCBC 相切，并且也与直线 ADAD 和 CDCD 相切。证明 ω1\omega_1 与 ω2\omega_2 的两条公共外切线交于 ω\omega 上。
第 1/4 步：由 omega 证明 Pitot 型关系 AB + AD = CB + CD
上一步下一步
通俗地说

把 ABCDABCD 的各边表示为四个顶点到 ω\omega 的切线段后，各项会成对消去。

BK=BL,AK=AN,CL=CM,DN=DM  ⟹  AB+AD=CB+CDBK=BL,\quad AK=AN,\quad CL=CM,\quad DN=DM \implies AB+AD=CB+CD
详细分析

设 ω\omega 在越过 AA 的射线 BABA 上与其切于 KK，在越过 CC 的射线 BCBC 上与其切于 LL，并在越过 DD 的 ADAD、CDCD 延长线上分别切于 NN、MM。由同一顶点引向 ω\omega 的切线段相等，得 BK=BLBK = BL、AK=ANAK = AN、CL=CMCL = CM、DN=DMDN = DM。因此 AB+AD=(BK−AK)+(AN−DN)=BK−DN=BL−DM=(BL−CL)+(CM−DM)=CB+CDAB + AD = (BK - AK) + (AN - DN) = BK - DN = BL - DM = (BL - CL) + (CM - DM) = CB + CD。