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第6题

设 ABCDABCD 是一个凸四边形，且 BA≠BCBA \ne BC。分别以 ω1\omega_1 和 ω2\omega_2 表示三角形 ABCABC 与 ADCADC 的内切圆。设存在一个圆 ω\omega，它与越过 AA 的射线 BABA 和越过 CC 的射线 BCBC 相切，并且也与直线 ADAD 和 CDCD 相切。证明 ω1\omega_1 与 ω2\omega_2 的两条公共外切线交于 ω\omega 上。
第 2/4 步：证明 AC 上的内切圆切点 P、Q 对称并与旁切圆切点相符
上一步下一步
通俗地说

△ABC\triangle ABC 中 ω1\omega_1 与 △ADC\triangle ADC 中 ω2\omega_2 的标准切线长度公式，结合第 1 步的 AB−BC=CD−ADAB - BC = CD - AD，得到 AP=CQAP = CQ。

AP=AC+AB−BC2=CA+CD−AD2=CQAP = \frac{AC+AB-BC}{2} = \frac{CA+CD-AD}{2} = CQ
详细分析

设 ω1\omega_1、ω2\omega_2 分别在 PP、QQ 处与 ACAC 相切。三角形 △ABC\triangle ABC 和 △ADC\triangle ADC 中的标准切线长度给出 AP=AC+AB−BC2AP = \dfrac{AC+AB-BC}{2} 及 CQ=CA+CD−AD2CQ = \dfrac{CA+CD-AD}{2}；由第 1 步的 AB−BC=CD−ADAB - BC = CD - AD，得到 AP=CQAP = CQ（由于 BA≠BCBA \ne BC，有 P≠QP \ne Q）。根据旁切圆的标准性质，QQ 也是 △ABC\triangle ABC 中与 BB 对面的旁切圆在 ACAC 上的切点，而 PP 是 △ADC\triangle ADC 中与 DD 对面的旁切圆在 ACAC 上的切点。