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第6题

设 ABCDABCD 是一个凸四边形，且 BA≠BCBA \ne BC。分别以 ω1\omega_1 和 ω2\omega_2 表示三角形 ABCABC 与 ADCADC 的内切圆。设存在一个圆 ω\omega，它与越过 AA 的射线 BABA 和越过 CC 的射线 BCBC 相切，并且也与直线 ADAD 和 CDCD 相切。证明 ω1\omega_1 与 ω2\omega_2 的两条公共外切线交于 ω\omega 上。
第 3/4 步：利用以 B、D 为中心的位似使直径的对径端点 P'、Q' 对齐
上一步下一步
通俗地说

以 BB 为中心把 ω1\omega_1 映到 △ABC\triangle ABC 的 BB-旁切圆的位似，将 ω1\omega_1 的上端（切线平行于 ACAC 处）映到该 BB-旁切圆在 ACAC 上的切点 QQ。

PP′⊥AC diameter of ω1,QQ′⊥AC diameter of ω2  ⟹  B,P′,Q collinear and D,Q′,P collinearPP' \perp AC \text{ diameter of } \omega_1,\quad QQ' \perp AC \text{ diameter of } \omega_2 \implies B, P', Q \text{ collinear and } D, Q', P \text{ collinear}
详细分析

设 PP′PP'、QQ′QQ' 分别是 ω1\omega_1、ω2\omega_2 中垂直于 ACAC 的直径。在 △ABC\triangle ABC 中，ω1\omega_1 在 P′P' 处的切线平行于 ACAC，所以以 BB 为中心把 ω1\omega_1 映到 △ABC\triangle ABC 的 BB-旁切圆的正位似将 P′P' 映到该旁切圆与 ACAC 的切点；根据第 2 步这点就是 QQ，故 B,P′,QB, P', Q 共线。在 △ADC\triangle ADC 中同理可得 D,Q′,PD, Q', P 共线。