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第6题

设 ABCDABCD 是一个凸四边形，且 BA≠BCBA \ne BC。分别以 ω1\omega_1 和 ω2\omega_2 表示三角形 ABCABC 与 ADCADC 的内切圆。设存在一个圆 ω\omega，它与越过 AA 的射线 BABA 和越过 CC 的射线 BCBC 相切，并且也与直线 ADAD 和 CDCD 相切。证明 ω1\omega_1 与 ω2\omega_2 的两条公共外切线交于 ω\omega 上。
第 4/4 步：将 P'Q 与 PQ' 的公共交点确定为 omega 上的点 K
上一步下一步
通俗地说

由于 ω\omega 内切于 ∠ABC\angle ABC，以 BB 为中心把 BB-旁切圆映到 ω\omega 的位似会把 QQ 映到 K∈ωK \in \omega，其中切线平行于 ACAC；同样，以 DD 为中心把 △ADC\triangle ADC 的 DD-旁切圆映到 ω\omega 的位似会把 PP 映到同一个点 KK。于是 K=P′Q∩PQ′K = P'Q \cap PQ' 把直径 P′PP'P 映到平行直径 QQ′QQ'，所以 KK 是 ω1\omega_1 与 ω2\omega_2 的外相似中心。

K∈ω with tangent ∥AC  ⟹  B,P′,Q,K collinear and D,Q′,P,K collinear  ⟹  K=P′Q∩PQ′ is the exsimilicenter of ω1,ω2K \in \omega \text{ with tangent } \parallel AC \implies B, P', Q, K \text{ collinear and } D, Q', P, K \text{ collinear} \implies K = P'Q \cap PQ' \text{ is the exsimilicenter of } \omega_1, \omega_2
详细分析

令 KK 为 ω\omega 上距 ACAC 最近且 ω\omega 的切线平行于 ACAC 的点。由于 ω\omega 与 △ABC\triangle ABC 的 BB-旁切圆都内切于 ∠ABC\angle ABC，两者之间以 BB 为中心的位似将 QQ 映到 KK，所以 KK 在直线 BP′QBP'Q 上；同理，由于 ω\omega 与 △ADC\triangle ADC 的 DD-旁切圆都与直线 ADAD、CDCD 相切，以 DD 为中心的位似将 PP 映到 KK，故 KK 也在直线 DQ′PDQ'P 上。因为 P′P∥QQ′P'P \parallel QQ' 是 ω1\omega_1、ω2\omega_2 的平行直径，且 K=P′Q∩PQ′K = P'Q \cap PQ' 将同侧端点（P′P' 对应 QQ，PP 对应 Q′Q'）对应起来，所以以 KK 为中心的位似以正比将直径 P′PP'P 映为直径 QQ′QQ'，从而将 ω1\omega_1 映为 ω2\omega_2。因此 K∈ωK \in \omega 是 ω1\omega_1 与 ω2\omega_2 的外相似中心，而两圆的公共外切线在此相交。