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第1题

设 n,k≥2n, k \ge 2 为正整数，a1,a2,…,aka_1, a_2, \dots, a_k 是集合 {1,2,…,n}\{1, 2, \dots, n\} 中互不相同的整数，使得对每个 i=1,2,…,k−1i = 1, 2, \dots, k - 1，nn 都整除 ai(ai+1−1)a_i(a_{i+1} - 1)。证明 nn 不整除 ak(a1−1)a_k(a_1 - 1)。
第 2/5 步：固定一个恰好整除 n 的素数幂
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q=pe∥n  ⟹  p∣a1 or p∣(a2−1)q=p^e \parallel n \implies p \mid a_1 \text{ or } p \mid (a_2-1)
详细分析

固定素数 pp 与指数 e≥1e\ge1，使 q=peq=p^e 恰好整除 nn（记作 q∥nq\parallel n）。由于 qq 整除 a1(a2−1)a_1(a_2-1)，素数 pp 整除 a1a_1 或整除 a2−1a_2-1。下面分别考察这两种情形，说明它们都迫使 ai(modq)a_i \pmod q 对所有 ii 取同一个常数。