第1题

若 $p\mid a_1$，则 $p\nmid(a_1-1)$，故 $a_1-1$ 模 $q$ 可逆。由 $a_k(a_1-1)\equiv0\pmod q$ 得 $q\mid a_k$。此时 $p\mid a_k$ 使 $a_k-1$ 也模 $q$ 可逆，于是 $a_{k-1}(a_k-1)\equiv0\pmod q$ 给出 $q\mid a_{k-1}$。沿关系式 $i=k-1,k-2,\dots,1$ 反复向后推导，可得对每个 $i=1,\dots,k$ 都有 $q\mid a_i$：所有 $a_i$ 都 $\equiv 0\pmod q$。