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第1题

设 n,k≥2n, k \ge 2 为正整数，a1,a2,…,aka_1, a_2, \dots, a_k 是集合 {1,2,…,n}\{1, 2, \dots, n\} 中互不相同的整数，使得对每个 i=1,2,…,k−1i = 1, 2, \dots, k - 1，nn 都整除 ai(ai+1−1)a_i(a_{i+1} - 1)。证明 nn 不整除 ak(a1−1)a_k(a_1 - 1)。
第 4/5 步：否则 p | (a₂−1)：沿循环正向推导
上一步下一步
p∣(a2−1)  ⟹  ai≡1(modq) for every i=1,…,kp \mid (a_2-1) \implies a_i \equiv 1 \pmod q \text{ for every } i=1,\dots,k
详细分析

否则 p∤a1p\nmid a_1，于是 a1a_1 模 qq 可逆，由 a1(a2−1)≡0(modq)a_1(a_2-1)\equiv0\pmod q 得 a2≡1(modq)a_2\equiv1\pmod q。此时 a2a_2 也模 qq 可逆，于是 a2(a3−1)≡0(modq)a_2(a_3-1)\equiv0\pmod q 给出 a3≡1(modq)a_3\equiv1\pmod q。沿 i=2,3,…,k−1i=2,3,\dots,k-1 继续正向推导，得对 i=2,…,ki=2,\dots,k 都有 ai≡1(modq)a_i\equiv1\pmod q；最后由假设的关系 ak(a1−1)≡0(modq)a_k(a_1-1)\equiv0\pmod q（aka_k 可逆）也迫使 a1≡1(modq)a_1\equiv1\pmod q。故所有 aia_i 都 ≡1(modq)\equiv 1\pmod q。