MathLabs

第2题

设 ABCABC 是外心为 OO 的三角形。点 PP、QQ 分别是边 CACA、ABAB 上的内点。设 KK、LL、MM 分别是线段 BPBP、CQCQ、PQPQ 的中点，设 Γ\Gamma 是过 KK、LL、MM 的圆。已知直线 PQPQ 与圆 Γ\Gamma 相切，证明 OP=OQOP = OQ。
第 2/4 步：在 M 处追踪切弦角
上一步下一步
∠AQP=∠KMQ=∠MLK\angle AQP=\angle KMQ=\angle MLK
详细分析

由于 MK∥AQMK\parallel AQ（ABAB 的一部分），横截线 QMQM 给出相等的内错角 ∠AQP=∠AQM=∠KMQ\angle AQP=\angle AQM=\angle KMQ（因为 MM 在线段 PQPQ 上，射线 QMQM 就是射线 QPQP）。由于 PQPQ 在 MM 处与 Γ\Gamma 相切，对弦 MKMK 用切弦角定理得 ∠KMQ=∠MLK\angle KMQ=\angle MLK，即从异侧弓形中的 LL 所张的弦 MKMK 的圆周角。因此 ∠AQP=∠MLK\angle AQP=\angle MLK。