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第2题

设 ABCABC 是外心为 OO 的三角形。点 PP、QQ 分别是边 CACA、ABAB 上的内点。设 KK、LL、MM 分别是线段 BPBP、CQCQ、PQPQ 的中点，设 Γ\Gamma 是过 KK、LL、MM 的圆。已知直线 PQPQ 与圆 Γ\Gamma 相切，证明 OP=OQOP = OQ。
第 3/4 步：相似三角形给出乘积等式
上一步下一步
△AQP∼△MLK  ⟹  AQ⋅QB=AP⋅PC\triangle AQP \sim \triangle MLK \implies AQ\cdot QB = AP\cdot PC
详细分析

三角形 AQPAQP 中 ∠QAP=∠BAC=∠KML\angle QAP=\angle BAC=\angle KML（第1步）且 ∠AQP=∠MLK\angle AQP=\angle MLK（第2步），故由角角相似得 △AQP∼△MLK\triangle AQP\sim\triangle MLK（对应 A↔M, Q↔L, P↔KA\leftrightarrow M,\ Q\leftrightarrow L,\ P\leftrightarrow K）。此相似给出 AQAP=MLMK\dfrac{AQ}{AP}=\dfrac{ML}{MK}。结合第1步的 MLMK=PCQB\dfrac{ML}{MK}=\dfrac{PC}{QB}，得 AQAP=PCQB\dfrac{AQ}{AP}=\dfrac{PC}{QB}，即 AQ⋅QB=AP⋅PCAQ\cdot QB=AP\cdot PC。