第2题

设

ABC

是外心为

O

的三角形。点

P

、

Q

分别是边

CA

、

AB

上的内点。设

K

、

L

、

M

分别是线段

BP

、

CQ

、

PQ

的中点，设

\Gamma

是过

K

、

L

、

M

的圆。已知直线

PQ

与圆

\Gamma

相切，证明

OP = OQ

。

第 4/4 步：用幂的定理完成证明

上一步下一步

通俗地说

Q、P 分别在外接圆的弦 AB、CA 上，故它们关于外接圆的幂恰好等于刚才求出的乘积。

OA^2-OQ^2=AQ\cdot QB=AP\cdot PC=OA^2-OP^2 \implies OP=OQ

详细分析

由于 $Q$ 在三角形 $ABC$ 外接圆（圆心 $O$ ，半径 $OA$ ）的弦 $AB$ 上， $Q$ 的幂给出 $AQ\cdot QB=OA^2-OQ^2$ 。由于 $P$ 在弦 $CA$ 上，同理 $AP\cdot PC=OA^2-OP^2$ 。第3步已证 $AQ\cdot QB=AP\cdot PC$ ，故 $OA^2-OQ^2=OA^2-OP^2$ ，从而 $OP^2=OQ^2$ ，即 $OP=OQ$ 。 $\blacksquare$