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第3题

设 s1,s2,s3,…s_1, s_2, s_3, \dots 是严格递增的正整数数列，使得子数列 ss1,ss2,ss3,…s_{s_1}, s_{s_2}, s_{s_3}, \dots 与 ss1+1,ss2+1,ss3+1,…s_{s_1+1}, s_{s_2+1}, s_{s_3+1}, \dots 都是等差数列。证明数列 s1,s2,s3,…s_1, s_2, s_3, \dots 本身也是等差数列。
第 1/5 步：用相同公差 D 表示两个等差数列
上一步下一步
通俗地说

把 s(s(n)) 夹在 s(s(n)+1) 与 s(s(n+1)) 之间，迫使已给的两个等差数列具有相同的公差。

s(s(n))=Dn+A,s(s(n)+1)=Dn+B(A<B≤A+D)s(s(n))=Dn+A,\quad s(s(n)+1)=Dn+B\quad (A<B\le A+D)
详细分析

记 sns_n 为 s(n)s(n)。由于 (s(s(n)))n≥1\left(s(s(n))\right)_{n\ge1} 是等差数列，存在常数 D,AD,A 使 s(s(n))=Dn+As(s(n))=Dn+A；同理 (s(s(n)+1))n≥1\left(s(s(n)+1)\right)_{n\ge1} 也是等差数列，存在常数 D′,BD',B 使 s(s(n)+1)=D′n+Bs(s(n)+1)=D'n+B。由于 ss 严格递增且 s(n)<s(n)+1≤s(n+1)s(n)<s(n)+1\le s(n+1)，对其施加 ss 得 s(s(n))<s(s(n)+1)≤s(s(n+1))s(s(n))<s(s(n)+1)\le s(s(n+1))，即对每个 n≥1n\ge1 都有 Dn+A<D′n+B≤D(n+1)+ADn+A<D'n+B\le D(n+1)+A。由于此式对所有 nn 都成立，nn 的系数必须一致：D=D′D=D'。于是不等式化简为 A<B≤A+DA<B\le A+D。