MathLabs

第3题

设 s1,s2,s3,…s_1, s_2, s_3, \dots 是严格递增的正整数数列，使得子数列 ss1,ss2,ss3,…s_{s_1}, s_{s_2}, s_{s_3}, \dots 与 ss1+1,ss2+1,ss3+1,…s_{s_1+1}, s_{s_2+1}, s_{s_3+1}, \dots 都是等差数列。证明数列 s1,s2,s3,…s_1, s_2, s_3, \dots 本身也是等差数列。
第 2/5 步：用 D 界定相邻差
上一步下一步
ds(n)=B−A for every n;dn≤D for every nd_{s(n)}=B-A\ \text{for every } n;\qquad d_n\le D\ \text{for every } n
详细分析

设 dn=s(n+1)−s(n)≥1d_n=s(n+1)-s(n)\ge1。由于 s(n)s(n) 与 s(n)+1s(n)+1 是相邻整数，s(s(n)+1)−s(s(n))s(s(n)+1)-s(s(n)) 恰好就是 ds(n)d_{s(n)}；而由第1步这个差等于 (Dn+B)−(Dn+A)=B−A(Dn+B)-(Dn+A)=B-A。所以对每个 n≥1n\ge1 都有 ds(n)=B−Ad_{s(n)}=B-A——一个固定常数。另一方面，s(s(n+1))−s(s(n))=Ds(s(n+1))-s(s(n))=D 可裂项展开为 dnd_n 个相邻差之和 ds(n)+ds(n)+1+⋯+ds(n+1)−1d_{s(n)}+d_{s(n)+1}+\dots+d_{s(n+1)-1}（共有 s(n+1)−s(n)=dns(n+1)-s(n)=d_n 项）。由于每项都 ≥1\ge1，得对每个 nn 都有 D≥dnD\ge d_n。因此 dnd_n 有界，故 m:=min⁡ndnm:=\min_n d_n 与 M:=max⁡ndnM:=\max_n d_n 均存在。