第3题

取满足 $d_a=M$ 的 $a$。在 $m=s(a)$ 与 $m=s(a+1)$ 处应用 $s(s(m))=Dm+A$，得 $s(s(s(a+1)))-s(s(s(a)))=D\big(s(a+1)-s(a)\big)=DM$。但同一个量又可裂项展开为 $D$ 个相邻差之和 $d_{s(s(a))}+\dots+d_{s(s(a+1))-1}$（因为 $s(s(a+1))-s(s(a))=D$）。由 $M$ 的定义，这 $D$ 项每项都 $\le M$，故其和 $\le DM$，而刚才已证等号成立；等号成立迫使这 $D$ 项都恰好等于 $M$。特别地 $d_{s(s(a))}=M$。但第2步（取 $n=s(a)$）表明 $d_{s(s(a))}=B-A$。因此 $M=B-A$。