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第3题

设 s1,s2,s3,…s_1, s_2, s_3, \dots 是严格递增的正整数数列，使得子数列 ss1,ss2,ss3,…s_{s_1}, s_{s_2}, s_{s_3}, \dots 与 ss1+1,ss2+1,ss3+1,…s_{s_1+1}, s_{s_2+1}, s_{s_3+1}, \dots 都是等差数列。证明数列 s1,s2,s3,…s_1, s_2, s_3, \dots 本身也是等差数列。
第 4/5 步：对称论证同样确定最小增量
上一步下一步
da′=m  ⟹  ds(s(a′))=⋯=ds(s(a′+1))−1=m  ⟹  m=B−Ad_{a'}=m \implies d_{s(s(a'))}=\dots=d_{s(s(a'+1))-1}=m \implies m=B-A
详细分析

在满足 da′=md_{a'}=m 的下标 a′a' 处原样重复第3步。同一个裂项恒等式 DMDM 变为 Dm=D(s(a′+1)−s(a′))Dm=D\big(s(a'+1)-s(a')\big)；根据 mm 的定义，它可写成 DD 个每项均 ≥m\ge m 的项之和，因此总和 ≥Dm\ge Dm，迫使每一项都恰好等于 mm。特别地，ds(s(a′))=md_{s(s(a'))}=m，而第2步再次给出 ds(s(a′))=B−Ad_{s(s(a'))}=B-A。所以 m=B−Am=B-A 也成立。