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第3题

设 s1,s2,s3,…s_1, s_2, s_3, \dots 是严格递增的正整数数列，使得子数列 ss1,ss2,ss3,…s_{s_1}, s_{s_2}, s_{s_3}, \dots 与 ss1+1,ss2+1,ss3+1,…s_{s_1+1}, s_{s_2+1}, s_{s_3+1}, \dots 都是等差数列。证明数列 s1,s2,s3,…s_1, s_2, s_3, \dots 本身也是等差数列。
第 5/5 步：增量被迫为常数
上一步下一步
通俗地说

一旦最大增量与最小增量相等，介于两者之间的每个增量也必须等于这个共同值。

M=m=B−A  ⟹  dn≡B−A  ⟹  (sn) is arithmeticM=m=B-A \implies d_n \equiv B-A \implies (s_n)\text{ is arithmetic}
详细分析

第3步与第4步给出 M=B−A=mM=B-A=m。由于对每个 nn 都有 m≤dn≤Mm\le d_n\le M 且 m=Mm=M，所以每个 dnd_n 都等于这个共同的值。因此 sn+1−sns_{n+1}-s_n 是常数，即 s1,s2,s3,…s_1,s_2,s_3,\dots 是等差数列，得证。■\blacksquare