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第4题

设 ABCABC 是满足 AB=ACAB = AC 的三角形。∠CAB\angle CAB 与 ∠ABC\angle ABC 的角平分线分别交边 BCBC、CACA 于 DD、EE。设 KK 是三角形 ADCADC 的内心。已知 ∠BEK=45∘\angle BEK = 45^\circ，求 ∠CAB\angle CAB 所有可能的值。
第 1/5 步：在对称轴上建立坐标
上一步下一步
通俗地说

由于 AB=AC，角平分线 AD 也是 BC 的垂直平分线，从而在 D 处自然给出一个直角坐标系。

A=(0,1), C=(tan⁡2x,0), B=(−tan⁡2x,0),∠CAB=4x, 0<x<45∘A=(0,1),\ C=(\tan2x,0),\ B=(-\tan2x,0),\quad \angle CAB=4x,\ 0<x<45^\circ
详细分析

由 AB=ACAB=AC 知 ∠CAB\angle CAB 的平分线 ADAD 垂直于 BCBC，且 DD 是 BCBC 的中点；特别地 ∠ADC=90∘\angle ADC=90^\circ。设 ∠DAC=2x\angle DAC=2x（于是 ∠CAB=∠BAD+∠DAC=4x\angle CAB=\angle BAD+\angle DAC=4x，其中 0<x<45∘0<x<45^\circ）。取 DD 为原点，ADAD 沿正 yy 轴方向，并令 AD=1AD=1，则 A=(0,1)A=(0,1)。在直角三角形 ADCADC 中，tan⁡(∠DAC)=DC/AD\tan(\angle DAC)=DC/AD，故 DC=tan⁡2xDC=\tan2x，C=(tan⁡2x,0)C=(\tan2x,0)；由关于 ADAD 的反射对称性，B=(−tan⁡2x,0)B=(-\tan2x,0)。又 AC=ADsec⁡2x=sec⁡2xAC=AD\sec2x=\sec2x。