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第4题

设 ABCABC 是满足 AB=ACAB = AC 的三角形。∠CAB\angle CAB 与 ∠ABC\angle ABC 的角平分线分别交边 BCBC、CACA 于 DD、EE。设 KK 是三角形 ADCADC 的内心。已知 ∠BEK=45∘\angle BEK = 45^\circ，求 ∠CAB\angle CAB 所有可能的值。
第 2/5 步：把 K 定位为直角三角形 ADC 的内心
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K=(ρ,ρ),ρ=12(1+tan⁡2x−sec⁡2x)K=(\rho,\rho),\qquad \rho=\tfrac12\left(1+\tan2x-\sec2x\right)
详细分析

三角形 ADCADC 在 DD 处为直角，两条直角边 AD=1AD=1、DC=tan⁡2xDC=\tan2x 分别沿两坐标轴，斜边 AC=sec⁡2xAC=\sec2x。对于直角顶点在原点且两直角边沿坐标轴的直角三角形，内心到每条直角边的距离为 ρ=12(leg1+leg2−hypotenuse)\rho=\tfrac12(\text{leg}_1+\text{leg}_2-\text{hypotenuse})，即位于 (ρ,ρ)(\rho,\rho)。这里 ρ=12(1+tan⁡2x−sec⁡2x)\rho=\tfrac12\left(1+\tan2x-\sec2x\right)，故 K=(ρ,ρ)K=(\rho,\rho)。