条件 ∠BEK=45∘\angle BEK=45^\circ∠BEK=45∘ 意味着向量 EB⃗\vec{EB}EB 与 EK⃗\vec{EK}EK 的夹角为 45∘45^\circ45∘，等价于 EB⃗×EK⃗=EB⃗⋅EK⃗\vec{EB}\times\vec{EK}=\vec{EB}\cdot\vec{EK}EB×EK=EB⋅EK（叉积等于点积，二者均由第1–3步的坐标算出）。代入 t=tanxt=\tan xt=tanx，并写 sin2x=2t1+t2\sin2x=\tfrac{2t}{1+t^2}sin2x=1+t22t、cos2x=1−t21+t2\cos2x=\tfrac{1-t^2}{1+t^2}cos2x=1+t21−t2，把所有坐标化为 ttt 的有理函数。通分后，方程 EB⃗×EK⃗−EB⃗⋅EK⃗=0\vec{EB}\times\vec{EK}-\vec{EB}\cdot\vec{EK}=0EB×EK−EB⋅EK=0 恰好因式分解为 8t2(t2−4t+1)(t2+2t−1)=08t^2\left(t^2-4t+1\right)\left(t^2+2t-1\right)=08t2(t2−4t+1)(t2+2t−1)=0。