第4题

由 $0<x<45^\circ$ 知 $t=\tan x\in(0,1)$，故因子 $t^2$ 不给出可行解。因子 $t^2-4t+1=0$ 给出 $t=2\pm\sqrt3$，其中 $(0,1)$ 内的根为 $t=2-\sqrt3=\tan15^\circ$，故 $x=15^\circ$。因子 $t^2+2t-1=0$ 给出 $t=-1\pm\sqrt2$，其中 $(0,1)$ 内的根为 $t=\sqrt2-1=\tan22.5^\circ$，故 $x=22.5^\circ$。两个值确实都满足 $\angle BEK=45^\circ$（把它们代回第1–3步的坐标可直接验证各自都有 $\vec{EB}\cdot\vec{EK}=\tfrac{\sqrt2}{2}\,|\vec{EB}|\,|\vec{EK}|$），且 $0<15^\circ,22.5^\circ<45^\circ$。由 $\angle CAB=4x$，可能的值为 $\angle CAB=60^\circ$ 与 $\angle CAB=90^\circ$。$\blacksquare$