第5题

取 $a=1$：以 $1,f(b),f(b+f(1)-1)$ 为边的三角形中，另两边之差小于第三边 $1$；由于 $f(b)$ 与 $f(b+f(1)-1)$ 是整数，对每个 $b$ 它们必须相等。若 $f(1)>1$，设 $N=f(1)-1\ge1$；则对所有 $b$ 都有 $f(b)=f(b+N)$，使 $f$ 以 $N$ 为周期，从而有界，设 $f\le B$ 恒成立。但固定 $b$，让原条件中的 $a$ 任意增大，需要 $a<f(b)+f(b+f(a)-1)\le 2B$，当 $a$ 很大时不可能。故 $f(1)=1$。再取 $b=1$：以 $n,f(1)=1,f(1+f(n)-1)=f(f(n))$ 为边的三角形中，另两边（$n$ 与 $f(f(n))$）之差又小于第三边 $1$，由整数性，对每个 $n$ 都有 $f(f(n))=n$。