第5题

由 $f(f(n))=n$ 知 $f$ 是单射，故 $f(2)\ne f(1)=1$，得 $\Delta:=f(2)-1\ge1$。取 $a=2,b=f(n)$：以 $2,f(f(n)),f(f(n)+f(2)-1)=2,n,f(f(n)+\Delta)$ 为边的三角形迫使 $|n-f(f(n)+\Delta)|<2$，故 $y:=f(f(n)+\Delta)\in\{n-1,n,n+1\}$。对 $y=f(f(n)+\Delta)$ 施加 $f$（用 $f\circ f=\mathrm{id}$）得 $f(y)=f(n)+\Delta$。若 $y=n$，则此式为 $f(n)=f(n)+\Delta$，因 $\Delta>0$ 不可能。故 $y=n\pm1$，得 $f(n+1)=f(n)+\Delta$ 或 $f(n-1)=f(n)+\Delta$。