第5题

对 $f(n)=1+(n-1)\Delta$ 再次应用 $f$（用第3步的公式）：$f(f(n))=1+(f(n)-1)\Delta=1+(n-1)\Delta^2$。由第1步 $f(f(n))=n$，故对每个 $n$ 都有 $1+(n-1)\Delta^2=n$，即 $(n-1)(\Delta^2-1)=0$ 对每个 $n$ 成立；取 $n=2$ 得 $\Delta^2=1$，故 $\Delta=1$（因 $\Delta>0$）。因此对所有 $n$ 都有 $f(n)=1+(n-1)=n$。反之 $f(x)=x$ 满足条件：三元组 $a,b,a+b-1$ 满足 $a+b-1<a+b$、$a<b+(a+b-1)$ 与 $b<a+(a+b-1)$（二者都归结为 $a,b\ge1$），故总构成非退化三角形。所以 $f(x)=x$ 是唯一解。$\blacksquare$