第1题

求所有满足对任意实数

x,y

都有

f(\lfloor x\rfloor y)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor

的函数

f:\mathbb R\to\mathbb R

。

第 1/6 步：将零代入第一个变量

上一步下一步

通俗地说

零的向下取整使左边与第二个变量无关，因此原点处的函数值控制右边的所有整数部分。

f(0)=f(0)\lfloor f(y)\rfloor\quad\text{for all }y\in\mathbb R

详细分析

令 $x=0$ ，得到对每个实数 $y$ 都有 $f(0)=f(0)\lfloor f(y)\rfloor$ 。若 $f(0)\ne0$ ，除以 $f(0)$ 得 $\lfloor f(y)\rfloor=1$ 对所有 $y$ 成立，从而 $1\le f(y)<2$ 。否则我们处于 $f(0)=0$ 的情形。