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国际数学奥林匹克 · 2010年

试题

  1. 第1题求所有满足对任意实数 x,yx,y 都有 f(⌊x⌋y)=f(x)⌊f(y)⌋f(\lfloor x\rfloor y)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor 的函数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R。解法: 1
  2. 第2题设 II 为三角形 ABCABC 的内心，Γ\Gamma 为其外接圆。设直线 AIAI 与 Γ\Gamma 的另一个交点为 DD。设 EE 为弧 BDCBDC（不含 AA 的弧）上一点，FF 为边 BCBC 上一点，使得 ∠BAF=∠CAE<12∠BAC\angle BAF=\angle CAE<\dfrac12\angle BAC。设 GG 为线段 IFIF 的中点。证明直线 DGDG 与 EIEI 的交点在 Γ\Gamma 上。解法: 1
  3. 第3题求所有函数 g:Z>0→Z>0g:\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}，使得对所有 m,n∈Z>0m,n\in\mathbb{Z}_{>0}，(g(m)+n)(g(n)+m)\left(g(m)+n\right)\left(g(n)+m\right) 都是完全平方数。解法: 1
  4. 第4题设 PP 是三角形 ABCABC（其中 CA≠CBCA \neq CB）内部一点。直线 APAP、BPBP、CPCP 分别再次与其外接圆 Γ\Gamma 交于 KK、LL、MM。Γ\Gamma 在 CC 处的切线与直线 ABAB 交于 SS。证明：若 SC=SPSC = SP，则 MK=MLMK = ML。解法: 1
  5. 第5题六个盒子 B1,B2,B3,B4,B5,B6B_1,B_2,B_3,B_4,B_5,B_6 起初各有一枚硬币。第一类操作选择一个满足 1≤j≤51\le j\le5 的非空盒子 BjB_j，取出一枚硬币并向 Bj+1B_{j+1} 加入两枚硬币。第二类操作选择一个满足 1≤k≤41\le k\le4 的非空盒子 BkB_k，取出一枚硬币，并交换（可以为空的）盒子 Bk+1B_{k+1} 与 Bk+2B_{k+2} 的内容。判断是否存在有限次操作，使 B1,B2,B3,B4,B5B_1,B_2,B_3,B_4,B_5 为空而 B6B_6 中恰有 2010201020102010^{2010^{2010}} 枚硬币。这里 abca^{b^c} 表示 a(bc)a^{(b^c)}。解法: 1
  6. 第6题设 a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\ldots 是正实数数列。假设对于某个正整数 ss,对所有 n>sn>s 都有 an=max⁡{ak+an−k∣1≤k≤n−1}a_n=\max\{a_k+a_{n-k}\mid 1\le k\le n-1\}。证明:存在正整数 ℓ\ell 和 NN,满足 ℓ≤s\ell\le s,使得对所有 n≥Nn\ge N 都有 an=aℓ+an−ℓa_n=a_\ell+a_{n-\ell}。解法: 1