第1题

求所有满足对任意实数

x,y

都有

f(\lfloor x\rfloor y)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor

的函数

f:\mathbb R\to\mathbb R

。

第 2/6 步：原点非零迫使函数为常值

上一步下一步

通俗地说

当所有函数值的整数部分都是一时，把第二个变量置零就会使方程把原点的值复制到处处。

f(x)=f(0)=c,\quad 1\le c<2

详细分析

在 $f(0)\ne0$ 的分支中，将 $y=0$ 代入原方程。由于 $\lfloor f(0)\rfloor=1$ ，对所有 $x$ 有 $f(0)=f(x)\lfloor f(0)\rfloor=f(x)$ 。所以 $f$ 为常值，记为 $f(x)=c$ ，并由前面的界得到 $1\le c<2$ 。